有限微积分_算法

有限微积分

不想延申太多，但提一下有限微积分的几个法则：

定义 $\mathrm Ef(x)=f(x+1),\Delta f(x)=\mathrm Ef(x)-f(x),\sum_a^b f(x)\delta x=\sum_{i=a}^{b-1}f(x)$。

对于“下降幂”：

$$x^{\underline{n}}=\begin{cases}x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) & (n>0)\\1 &(n=0)\\\dfrac{1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+(-n))}&(n<0) \end{cases}$$

对于以上记号，有如下法则：

• $\sum\Delta f=\Delta \sum f$，即 $\Delta f$ 具有线性性。
• $\Delta(fg)=g\Delta f+\mathrm {E}f\Delta g=\mathrm {E}g\Delta f+f\Delta g$。
  • 这点是比较有价值的，给个证明：

$$\begin{aligned}\Delta(f(x)g(x)) &=\mathrm Ef(x)\mathrm Eg(x)-f(x)g(x) \\&=\mathrm Ef(x)\mathrm Eg(x)+(-\mathrm Ef(x)g(x)+\mathrm Ef(x)g(x))-f(x)g(x)) \\&=(\mathrm Ef(x)\mathrm Eg(x)-\mathrm Ef(x)g(x))+(\mathrm Ef(x)g(x)-f(x)g(x)) \\&=\mathrm Ef(x)\Delta g(x)+\Delta f(x)g(x) \end{aligned}$$

• $\Delta(x^{\underline n})=nx^{\underline{n-1}}$，非常美。
  • 做一下变形，可得 $x^{\underline n}=\Delta(\frac{x^{\underline{n+1}}}{n+1})$，我们可以用这个来化柿子。

这些是目前比较有用的部分。

$$\begin{aligned}\sum_{x=0}^nx^3&={\sum}_0^{n+1}(x^{\underline 3}+3x^{\underline 2}+x)\delta x \\&=\dfrac{1}{4}(n+1)^{\underline{4}}+(n+1)^{\underline{3}}+\dfrac{1}{2}(n+1)^{\underline{2}}=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}\end{aligned}$$

将普通幂转为下降幂即可使用有限微积分进行推导。

参考资料

有限微积分与数列求和